ΜΑΘΗΜΑ 1ο: Βασικά Σύνολα Αριθμών

!!!! Στο πρώτο μας μάθημα ασχοληθήκαμε με τα Βασικά Σύνολα  Αριθμών τα οποία θα τα συναντάτε σε όλη τη διάρκεια της σχολικής σας ζωής. Όπως σας τόνισα και στην τάξη θα πρέπει να είστε σε θέση να τα αναγνωρίζετε. Παρακάτω σας παραθέτω τα βασικά θεωρητικά στοιχεία που αναφέρθηκαν και τα οποία θα πρέπει να μελετήσετε στο σπίτι ενώ δεν θα έχετε καθόλου ασκήσεις.

Καλή αρχή και καλή σχολική χρονιά! 

ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Οι ανάγκες του πρώτου ανθρώπου ικανοποιούνταν με τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, 4, 5,

6, κ.λ.π. που σήμερα αποκαλούμε Φυσικούς.  Πράγματι, στην απαρίθμηση φυσικών

στοιχείων είναι οι μόνοι που χρειάζονται.

π.χ. 1 ποτάμι, 2 μήλα, 4 πουλιά.

Το μηδέν δύσκολα το τοποθετείς στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Οι αρχαίοι

Έλληνες που το είχαν συνδέσει με το τίποτα, το απεχθάνονταν. Βέβαια το πόσο

χρήσιμο είναι, φάνηκε από την ανάπτυξη που δέχθηκε η άλγεβρα από τους Άραβες οι

οποίοι αγκάλιασαν και χρησιμοποίησαν το μηδέν σαν κανονικό αριθμό.

Το σύνολο των Φυσικών αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα Ν από την αγγλική

λέξη Natural που σημαίνει φυσικός.

Οπότε, 

Ν={1,2,3,4,5,...}  και Ν0={0,1,2,3,4,5,...}

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Με το πέρασμα του χρόνου και την πρόοδο του ανθρώπου, άρχισαν να

παρουσιάζονται προβλήματα όπως το παρακάτω:

“Η θερμοκρασία είναι 5 βαθμοί Κελσίου και πέφτει κατά 7 βαθμούς.

Τι θερμοκρασία έχουμε τώρα;”

Εύκολα μπορούμε να πούμε ότι η θερμοκρασία θα είναι τώρα 2 βαθμούς κάτω από το

0 ή απλούστερα -2 βαθμοί Κελσίου. Το -2 όμως δεν είναι φυσικός αριθμός!!!

Η ανάγκη για λύση τέτοιων προβλημάτων μας οδήγησε στην κατασκευή ενός νέου

συνόλου, το σύνολο των Ακέραιων αριθμών.

Το σύνολο των Ακεραίων αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα Ζ από τη γερμανική

λέξη Zahl που σημαίνει αριθμός.

Οπότε, 

Ζ={...,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...}

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Όλοι, πολύ εύκολα μπορούμε να μοιράσουμε 10€ με ένα φίλο μας αφού 10:2=5. Αν

όμως οι φίλοι είναι 3 τότε 10:3=3,333... που όμως δεν είναι ακέραιος αριθμός!!!

Έτσι και πάλι παρουσιάστηκε η ανάγκη δημιουργίας ενός νέου συνόλου, το σύνολο

των Ρητών αριθμών.

Το σύνολο των Ρητών αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα Q από τη αγγλική λέξη

Quotient που σημαίνει πηλίκο.

Οπότε,

Q={μ : ν, όπου μ,ν∈Ζ και ν≠0}

Με λίγα λόγια το σύνολο Q περιέχει τους αριθμούς που μπορούν να γραφούν ως

κλάσματα που οι όροι τους είναι ακέραιοι αριθμοί. Προφανώς ο παρανομαστής δεν

μπορεί να είναι μηδέν.

ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Ο Αρχιμήδης (287 π.Χ.-212 π.Χ.) ήταν ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς,

φυσικούς και μηχανικούς της αρχαιότητας. Γεννήθηκε, έζησε και πέθανε στις

Συρακούσες, την μεγάλη ελληνική αποικία της Σικελίας.

Οι Αρχαίοι Έλληνες είναι αυτοί που πρώτοι παρατήρησαν ότι αν πάρουμε το μήκος

οποιουδήποτε κύκλου και το διαιρέσουμε με τη διάμετρό του βρίσκουμε πάντα τον

ίδιο αριθμό τον οποίο ονόμασαν π. Ο αριθμός αυτός είναι διεθνώς γνωστός με το

ελληνικό γράμμα π ή στους υπολογιστές που δεν έχουν ελληνική γραμματοσειρά ως

pi και λέγεται σταθερά του Αρχιμήδη.

Το π όμως τάραξε τα νερά της επιστημονικής κοινότητας εκείνης της εποχής αφού είναι ένας αριθμός που δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα με ακέραιους όρους, δηλαδή δεν είναι ρητός αριθμός. Ένας τέτοιος αριθμός λέγεται άρρητος. Επίσης άρρητοι αριθμοί είναι οι ρίζες φυσικών που δεν υπολογίζονται ακριβώς. Για παράδειγμα η √2 είναι επίσης ένας άρρητος αριθμός.

Χοντρικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι οι άρρητοι αριθμοί  έχουν μετά την

υποδιαστολή άπειρο πλήθος μη επαναλαμβανόμενων ψηφίων, είναι δηλαδή δεκαδικοί μη περιοδικοί αριθμοί με άπειρα δεκαδικά ψηφία.

Μάλιστα οι άρρητοι χωρίζονται σε δυο «οικογένειες»: οι αλγεβρικοί άρρητοι (όπως ο √2 που είναι λύσεις αλγεβρικών εξισώσεων) και οι υπερβατικοί άρρητοι (όπως ο π=3,14159… που δεν είναι λύσεις αλγεβρικών εξισώσεων.)

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Το σύνολο των Πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα R από τη

αγγλική λέξη Real που σημαίνει πραγματικός και δημιουργείται από την ένωση του

συνόλου των ρητών και των άρρητων αριθμών.

Οπότε, 

R = ρητοί + άρρητοι

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

'Ενα νέο σύνολο στο οποίο υπάρχει η λύση εξισώσεων που στο γυμνάσιο τις θεωρούμε αδύνατες.

Το σύνολο των Μιγαδικών αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα C από τη αγγλική

λέξη Complex που σημαίνει σύνθετος. Συχνά αναφέρονται και ως φανταστικοί αριθμοί

Οπότε,

C={α+βi, όπου α και β πραγματικοί αριθμοί}

Περισσότερα για τους μιγαδικούς και τις πράξεις τους, θα έχουν την ευκαιρία να μάθουν όσοι επιλέξουν μαθηματικά κατεύθυνσης στο λύκειο.

*** ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΣ ΣΥΝΟΛΟΥ Α 

α. Με αναγραφή των στοιχείων του : π.χ Α = { 0,1,2,3,4,5}

β. Με περιγραφή των στοιχείων του  π.χ Α = { χεΝ / χ<6 }

***ΥΠΟΣΥΝΟΛΟ ΕΝΟΣ ΣΥΝΟΛΟΥ Α

Παράδειγμα :  Έστω το σύνολο Α = { 0 , 1,2,3,4,5}.

Τα σύνολα Β = { 0,4 }  , Γ = { 2, 4 ,5 }  , Δ = {0 , 2, 4 ,5 } είναι υποσύνολα του Α

***ΤΟΜΗ - ΕΝΩΣΗ ΣΥΝΟΛΩΝ 

Παράδειγμα : Έστω Α = { 1 , 2 , 5 , 7} και Β= { 2, 5, 8,9 ,11}

Η τομή τους περιλαμβάνει τα κοινά στοιχεία τους = { 2,5}.

Η ένωση αποτελείται από τα στοιχεία που ανήκουν ή στο ένα ή το άλλο σύνολο 
= { 1,2,5,7,8,9,11}.