| Maths Forum |: Παράδειγμα απόδειξης πρότασης με την μέθοδο της Τέλειας Επαγωγής

Τρίτη 27 Νοεμβρίου 2012

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να αποδείξουμε ότι η παρακάτω μαθηματική πρόταση είναι αληθής για κάθε $\nu \in \mathbb{N}$ :

$1 + 2 + 3 + \cdots + \nu = \frac{\nu(\nu + 1)}{2}$

απόδειξη:

$1 = \frac{1(1+ 1)}{2} = 1$

Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι η πρόταση είναι αληθής για κάποιο φυσικό αριθμό ν = κ

$1 + 2 + 3 + \cdots + \kappa = \frac{\kappa(\kappa + 1)}{2}$ , (επαγωγική υπόθεση)

$1 + 2 + 3 + \cdots + \kappa + 1 = \frac{(\kappa + 1)(\kappa + 2)}{2}$

Το κάνουμε αυτό χρησιμοποιώντας την επαγωγική υπόθεση. Έχουμε δεχτεί ότι ισχύει:

$1 + 2 + 3 + \cdots + \kappa = \frac{\kappa(\kappa + 1)}{2}$

Προσθέτουμε και στα δύο μέλη της εξίσωσης τον όρο κ + 1, που είναι ο επόμενος του κ φυσικός αριθμός, και έχουμε διαδοχικά:

$1 + 2 + 3 + \cdots + \kappa + (\kappa + 1)= \frac{\kappa(\kappa + 1)}{2} + (\kappa + 1)$

$= \frac{\kappa(\kappa + 1)}{2} + \frac{2(\kappa + 1)}{2}$

$= \frac{(\kappa^2 + 3\kappa + 2)}{2}$

$= \frac{(\kappa + 1)(\kappa + 2)}{2}$

Έτσι έχουμε:

$1 + 2 + 3 + \cdots + \kappa + (\kappa + 1) = \frac{(\kappa + 1)(\kappa + 2)}{2}$

Η πρόταση είναι αληθής για όλους τους φυσικούς αριθμούς ν.

| Maths Forum |