Παράδειγμα απόδειξης πρότασης με την μέθοδο της Τέλειας Επαγωγής

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να αποδείξουμε ότι η παρακάτω μαθηματική πρόταση είναι αληθής για κάθε  :

 απόδειξη:

• Ελέγχουμε ότι η πρόταση ισχύει για ν = 1

• Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι η πρόταση είναι αληθής για κάποιο φυσικό αριθμό ν = κ

, (επαγωγική υπόθεση)

• Τέλος αποδεικνύουμε ότι  η πρόταση είναι αληθής για ν = κ + 1

Tέλεια Επαγωγή

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι προτασιακοί τύποι (προτάσεις που περιέχουν  μεταβλητή)   που αληθεύουν στους φυσικούς αριθμούς. Μια μέθοδος που χρησιμοποιούμε για την απόδειξη τους,  είναι η μέθοδος της '' Τέλειας Επαγωγής ".

Τη μέθοδο αυτή τη βρίσκουμε στο αξίωμα του Peano το οποίο έχει την πιο κάτω εφαρμογή: 

1) Δείχνουμε ότι ο προτασιακός τύπος αληθεύει για ν=1

2) Υποθέτουμε ότι αληθεύει για ν=κ και αποδεικνύουμε ότι αληθεύει για ν=κ+1.

Τότε ο προτασιακός τύπος αληθεύει  για κάθε

Giuseppe Peano. Ιταλός μαθηματικός 1858-1932. ασχολήθηκε ιδιαίτερα με την αξιωματική θεμελίωση των φυσικών αριθμών. Σ' αυτόν οφείλεται το σύμβολο του 'υπάρχει'.

H ταπετσαρία ενός Μαθηματικού..

Oικουμενική γλώσσα..

Ο Χρυσός αριθμός "Φ"

Ο αριθμός "φ" (1,618033…) είναι ο αριθμός της ομορφιάς. Της μαθηματικής ομορφιάς. Ο αριθμός  της αρμονίας που διέπει όλο το σύμπαν !!!! 

Εντοπίζεται σε ένα απίστευτα ευρύ φάσμα πραγμάτων, από την αναλογία του μήκους των πλευρών και των διαγωνίων των πεντάγωνων μέχρι τη σπειροειδή μορφή που παρατηρείται σε δομές κάποιων ζωντανών οργανισμών.

Πολλοί υποστηρίζουν ότι τα κτίρια που στην κατασκευή τους λαμβάνεται υπόψη ο αριθμός φ για να καθοριστούν οι αναλογίες τους, είναι πιο καλαίσθητα. Το πιο χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι ο Παρθενώνας: λέγεται ότι η αναλογία πλάτους-ύψους της αρχικής πρόσοψής του ισοδυναμούσε με τον φ. Τα τετράγωνα έχουν εμβαδόν ακριβώς  με την ακολουθία. Απόδειξη ότι οι Αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν την αναλογία Φιμπονάτσι πολύ πριν τον Φιμπονάτσι. Επίσης, το 1995, ο δρ Τζον Πουτζ, μαθηματικός, υποστήριξε ότι η αναλογία του μεγέθους των διαφόρων μερών στις σονάτες για πιάνο του Μότσαρτ συχνά ισοδυναμεί με τον φ.

Την ίδια αυτή αναλογία ξαναβρήκαν οι επιστήμονες του Ναπολέοντα στην Αίγυπτο όταν μέτρησαν τις Πυραμίδες.

Επίσης ανακαλύφθηκε ότι και το DNA ακολουθεί την αναλογία αλλά και ολόκληρο το σύμπαν. Μέχρι και η κίνηση των πλανητών γίνεται βάσει της χρυσής αναλογίας.

Αν μετρήσεις τις μέλισσες σε μια κυψέλη οπουδήποτε στον κόσμο θα παρατηρήσεις ότι η αναλογία των θηλυκών προς των αρσενικών μελισσών καταλήγει πάντα σε έναν αριθμό…

Αν μετρήσεις την απόσταση από την κορυφή του κεφαλιού μέχρι το πάτωμα και τη διαιρέσεις με την απόσταση από τον αφαλό μέχρι το πάτωμα προκύπτει πάντα ο ίδιος αριθμός…

Αν μετρήσεις την απόσταση από τον ώμο μέχρι τις άκρες των δακτύλων και τη διαιρέσεις με την απόσταση από τον αγκώνα μέχρι τις άκρες των δακτύλων προκύπτει πάντα ο ίδιος αριθμός…

…ο αριθμός αυτός είναι ο 1,618 ή ο γνωστός αριθμός φ !!!

PISA (Programme for International Student Assessment)

Η PISA είναι μία διεθνής έρευνα που διεξάγεται από τον OECD (Organisation for Economic Cooperation and Development – Οργανισμός Οικονομικής Συνεργασίας και Ανάπτυξης) με σκοπό τη διεθνή αξιολόγηση των εκπαιδευτικών συστη­μάτων των χωρών που συμμετέχουν σε αυτόν.  Συγκεκριμένα, η έρευνα στοχεύει στον καθορισμό αξιόπιστων δεικτών σε θέματα που σχετίζονται με τα μαθησιακά αποτελέσματα των εκπαιδευτικών συστημάτων (γνώσεις και δεξιότητες στους τομείς της Ανάγνωσης, των Μαθηματικών και των Φυσικών Επιστημών) κατά την περίοδο στην οποία η υποχρεωτική εκπαίδευση βαίνει ή βρίσκεται προς την ολοκλήρωσή της (στις περισσότερες χώρες). Η έρευνα διεξάγεται από το 2000 κάθε 3 χρόνια. Στην έρευνα συμμετέχουν οι χώρες μέλη του ΟΟΣΑ και άλλες συνεργαζόμενες χώρες. Συνολικά, στην έρευνα PISA 2012 συμμετείχαν γύρω στις 67 χώρες, εκ των οποίων οι 32 είναι χώρες μέλη του ΟΟΣΑ. Κάθε χώρα που συμμετέχει στην έρευνα υποχρεούται να χρησιμοποιήσει ένα αριθμό εργαλείων (δοκιμίων και ερωτηματολογίων) ενώ υπάρχει η δυνατότητα για συμπερίληψη επιπρόσθετων εργαλείων. .

Μετά από επίμονες προσπάθειες η Κύπρος συμμετείχε στην έρευνα PISA 2012. Το συντονισμό και τη διεξαγωγή της έρευνας είχε αναλάβει το ΚΕΕΑ ενώ χρησιμοποίησε τα εξής εργαλεία: Δοκίμιο που καλύπτει τα γνωστικά αντικείμενα των μαθηματικών, της επιστήμης και της γλώσσας (paper-based assessment),  δοκίμιο για τη λύση προβλήματος (computer-based assessment) στο οποίο η PISA 2012 έδνε ιδιαίτερη έμφαση, ερωτηματολόγιο μαθητών και ερωτηματολόγιο για το σχολείο συμπληρώθηκε από τη Διεύθυνση του σχολείου. πηγή: Ιστοσελίδα Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Κύπρου

Sudoku (Σουντόκου), η νέα τρέλα...

...Τα Su Doku είναι η τρέλα που έχει κυριεύσει το σύνολο του δυτικού κόσμου, ως άξιος διάδοχος των σταυρόλεξων στις σελίδες ψυχαγωγίας των μεγαλύτερων εφημερίδων του κόσμου.

• Ο όρος Su Doku μεταφράζεται σε κάτι σαν "τοποθέτηση αριθμών" και αποτελεί ουσιαστικά ένα γρίφο καθαρής λογικής. Η ομορφιά του είναι διττή και έγκειται στο ότι δεν χρειάζεται να γνωρίζει κανείς κάποια συγκεκριμένη γλώσσα ή να έχει κάποια ιδιαίτερη γνώση για να το λύσει. Υπάρχει πάντα μία και μοναδική λύση, που προκύπτει με τη λογική και τον αποκλεισμό, χωρίς καμιά ανάγκη για εικασίες. Το σουντόκου είναι ένα παζλ από αριθμούς και στόχος είναι να συμπληρωθούν όλα τα κουτάκια στον πίνακα (9x9), ώστε κάθε στήλη, κάθε σειρά και κάθε κουτάκι 3x3 να περιέχουν όλα τα ψηφία από το 1 μέχρι το 9. Μερικά κουτάκια είναι ήδη συμπληρωμένα, ώστε να υπάρχει μόνο μία δυνατή λύση. 

• Eπινοήθηκε από τον Αμερικανό Χάουαρντ Γκαρνς το 1979 και δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά από την εταιρεία Dell Magazines με το όνομα "Number Place". Έγινε δημοφιλές στην Ιαπωνία το 1986, όταν εκδόθηκε από τον οίκο Nikoli και δόθηκε το όνομα Sudoku. Στην Ιαπωνία, χώρα από την οποία ξεκίνησε η σύγχρονη μορφή του Su Doku, μπορεί καθημερινά να δει κανείς χιλιάδες Ιάπωνες να μετακινούνται προς τις δουλειές τους μελετώντας προσεκτικά τα Su Doku τους, μια εικόνα που τείνει να καθιερωθεί και σε πολλές ευρωπαϊκές χώρες. Ο ερχομός τους στη Μεγάλη Βρετανία κατέκτησε αμέσως τη χώρα. Δημοσιεύθηκαν για πρώτη φορά στους Τάϊμς το Νοέμβριο του 2004, και δημιούργησαν αμέσως ένα χείμαρρο ανταπόκρισης. Σε λιγότερο από έξι μήνες τουλάχιστον τέσσερις εφημερίδες εθνικής κυκλοφορίας δημοσίευσαν τα δικά τους Su Doku. 

• Όπως προκύπτει από τον στόχο και τις βασικές αρχές του παιχνιδιού, αντί αριθμών μπορούν να χρησιμοποιηθούν οποιαδήποτε σύμβολα. Πράγματι έχουν δημιουργηθεί γρίφοι με βάση κινέζικα σύμβολα, κινέζικους αριθμούς ή σύμβολα που αναπαριστούν μερίδες σούσι! 

Αγαπημένη πίτσα ενός Μαθηματικού....

Η Ακολουθία Fibonacci

Στα Μαθηματικά, οι Αριθμοί Φιμπονάτσι είναι οι αριθμοί της παρακάτω ακέραιης ακολουθίας:

 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ...

Εξ ορισμού, οι πρώτοι δύο αριθμοί Φιμπονάτσι είναι το 0 και το 1, και κάθε επόμενος αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων.

Σε μαθηματικούς όρους, η ακολουθία F_n των αριθμών Φιμπονάτσι ορίζεται από τον αναδρομικό τύπο:

με  και 

! Ο λόγος δυο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας ονομάζεται χρυσή αναλογία και είναι ο φ=1.618033989.
Ο αντίστροφος του αριθμού είναι ο 0.618033989 δηλαδή 1/φ=φ+1

Η εκπαίδευση αποτελεί αναφαίρετο δικαίωμα για κάθε παιδί.

! Κάθε φορά που δυσανασχετείς με τα μαθήματα και τις πολλές ομολογουμένως υποχρεώσεις του σχολείου σου, σκέψου πως κάπου σε μία χώρα, ένα παιδί θα ευχόταν να ήταν στην θέση σου..

Σε ελεύθερη μετάφραση: '' Δεν με ενοχλεί αν χρειαστεί να κάτσω ακόμη και στο πάτωμα στο σχολείο ..Το μόνο που θέλω είναι η Εκπαίδευση.. Και φοβάμαι στην σκέψη να μην μπορώ να την έχω .. ''

Στην εικόνα, η 16χρονη Μαλάλα Γιουσαφζάι από το Πακιστάν, που πλήρωσε με έναν πυροβολισμό στο κεφάλι από τους Ταλιμπάν, την επιμονή της να έχουν τα κορίτσια πρόσβαση στην εκπαίδευση

Γιατί Μαθηματικά;

" Που θα μου χρειστούν τα Μαθηματικά;;; "

Συχνά οι μαθητές ρωτούν τον  Μαθηματικό τους:

«...Και που θα μου χρειαστούν εμένα αυτά; » 

Η δική μου απάντηση είναι ότι τα μαθηματικά παρέχουν ένα ιδανικό περιβάλλον, όπου αναπτύσσονται σημαντικές δεξιότητες που ένα άτομο χρειάζεται έτσι και αλλιώς οπουδήποτε στη ζωή του...

Μερικές φορές ένας απλός συλλογισμός κάποιου ανθρώπου αξίζει πιο πολύ από το χρυσάφι ολόκληρου του κόσμου. Με κάποιες έξυπνες ιδέες κερδίζονται μάχες, γίνονται μνημειώδη έργα και δοξάζονται άνθρωποι, ενώ παράλληλα αναπτύσσεται η επιστήμη εξελίσσεται η τεχνολογία, διαμορφώνεται η ιστορία και αλλάζει η ζωή.

Τα μαθηματικά είναι για το μυαλό είναι ό,τι και η άσκηση για το σώμα. Κάποιες φορές η διαδρομή είναι κουραστική και δύσκολη, αλλά κρύβει συγκινήσεις και επαίνους στο τέλος..

* Στον ακόλουθο σύνδεσμο θα βρέιτε 7 poster σε μορφή pdf με θέμα:

"Πότε θα χρειαστώ τα Μαθηματικά" ( στην αγγλική γλώσσα).

http://theorhma.blogspot.gr/2012/07/blog-post.html

Μαθηματικά Ανέκδοτα

 1. Στις εξετάσεις, ένας μαθητής που δεν μπορούσε να λύσει την άσκηση των μαθηματικών,    γράφει στην κόλλα: «Αυτή την άσκηση μόνο ο Θεός μπορεί να τη λύσει»! 

Και ο καθηγητής απαντά :

Ο Θεός παίρνει άριστα κι εσύ απορρίπτεσαι!

2. Πώς πλένουν οι μαθηματικοί τα πιάτα;

    Πλένουν ένα και λένε: «ομοίως και τα άλλα».

3. Ποια η διαφορά μαθηματικού και αστυνομικού;

    Απάντηση :  Ο μαθηματικός θέλει να τετραγωνίσει τον       

    κύκλο, ενώ ο αστυνομικός να κυκλώσει το τετράγωνο.

4. Πώς οι μαθηματικοί κόβουν ένα δέντρο;

    Το υψώνουν στο τετράγωνο και φεύγουν οι ρίζες.

5. Πόσοι μαθηματικοί χρειάζονται για να αλλάξουν μια λάμπα   

    στην αίθουσα διδασκαλίας ;

    Απάντηση : Κανένας. Το αφήνουν ως άσκηση στους 

    μαθητές τους.

Διάσημες άλυτες μαθηματικές εικασίες

Οι Μαθηματικοί αγαπούν τους πρώτους αριθμούς και είναι το κύριο ''συστατικό'' των Μαθηματικών.Οι πρώτοι αριθμοί είναι ένα από τα αντικείμενα της θεωρίας αριθμών και είναι μια πολύ ενεργή ερευνητικά περιοχή των μαθηματικών. Διάσημες και άλυτες εικασίες, όπως η Εικασία του Ρίμαν η Εικασία του Γκόλντμπαχ και η Εικασία των Διδύμων Πρώτων εμπλέκουν ή αφορούν πρώτους αριθμούς.

Η εικασία του Γκόλντμπαχ (1690-1764)

Ο Κρίστιαν Γκόλντμπαχ, υποστήριξε ότι κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του 2, μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα δύο πρώτων αριθμών. π.χ. 16=13+3 ή 30=23+7. Η απόδειξη της παραπάνω εικασίας βασανίζει ακόμα και σήμερα αρκετούς μαθηματικούς αφού συνεχώς νεώτεροι και ισχυρότεροι ηλεκτρονικοί υπολογιστές την επιβεβαιώνουν για όλο και μεγαλύτερους αριθμούς.

Η υπόθεση Ρίμαν (1826-1866)

Ο Ρίμαν, Γερμανός μαθηματικός, έθεσε το ζήτημα του πλήθους των πρώτων αριθμών οι οποίοι είναι μικρότεροι από ένα δοσμένο φυσικό αριθμό ν.

Πόσοι πρώτοι αριθμοί είναι μικρότεροι από το 20; Η απάντηση είναι 8 και είναι οι: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Πόσοι μικρότεροι από το 500; το 1000; ... κ.λ.π.

Ο Ρίμαν είχε κάνει μια υπόθεση για τα παραπάνω ερωτήματα, όμως λίγο αργότερα πέθανε. Η σπιτονοικοκυρά του δυστυχώς χωρίς να ξέρει τι έκανε έκαψε τις σημειώσεις του και έτσι δε θα μάθουμε ποτέ τι είχε βρει... Η υπόθεση Ρίμαν αποτελεί μια πρόκληση για τους μαθηματικούς έως και σήμερα.

Η εικασία των Διδύμων Πρώτων

Ένα γνωστό άλυτο πρόβλημα της θεωρίας των αριθμών είναι η εικασία των Διδύμων Πρώτων στην οποία πρέπει να αποδειχτεί πως υπάρχουν άπειροι πρώτοι p τέτοιοι ώστε και ο αριθμός p + 2 να είναι πρώτος. Σημειώνεται ότι 2 είναι η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο πρώτων, καθώς αν ο p είναι πρώτος τότε θα είναι περιττός (με μοναδική εξαίρεση τον αριθμό 2) και άρα ο p + 1 θα είναι άρτιος και άρα σύνθετος αριθμός.

'' Όσες περισσότερες γνώσεις έχεις για ένα θέμα, τόσο πιο εύκολα αντιλαμβάνεσαι  πόσα πολλά  υπάρχουν που δεν ξέρεις ακόμα ''

Μαγικά Τετράγωνα: Ανακαλύπτοντας την μαγεία τους

Μαγικά τετράγωνα είναι διδιάστατοι πίνακες (ν x ν) που περιέχουν τους αριθμούς 1,2,3,...,n² σαν στοιχεία τους, τοποθετημένους κατά τέτοιον τρόπο ώστε το άθροισμα M οποιαδήποτε στήλης, γραμμής ή διαγωνίου να είναι σταθερό και ίσο προς ν(ν² + 1)/2. Ο αριθμός Μ καλείται μαγικός αριθμός

3x3 Μαγικό τετράγωνο με Μ =15

4x4 Μαγικό τετράγωνο με Μ =34 (Albrecht Dürer)

4x4 Μαγικό τετράγωνο με Μ =34 (Yang-Hui)

• Συνολικά υπάρχουνε 880 διαφορετικά μαγικά τετράγωνα για ν=4 (δεν συμπεριλαμβάνονται τετράγωνα που προκύπτουν από περιστροφές ή αντανακλάσεις).
• Για ν μεγαλύτερο από 5 ο ακριβής αριθμός των μαγικών τετραγώνων δεν είναι γνωστός. 

Εύρεση των πρώτων αριθμών μέχρι το '300'

Βήμα 1ο:   Σε έναν πίνακα γράφουμε όλους τους ακέραιους αριθμούς από το 1 έως το 300

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
101	102	103	104	105	106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120
121	122	123	124	125	126	127	128	129	130	131	132	133	134	135	136	137	138	139	140
141	142	143	144	145	146	147	148	149	150	151	152	153	154	155	156	157	158	159	160
161	162	163	164	165	166	167	168	169	170	171	172	173	174	175	176	177	178	179	180
181	182	183	184	185	186	187	188	189	190	191	192	193	194	195	196	197	198	199	200
201	202	203	204	205	206	207	208	209	210	211	212	213	214	215	216	217	218	219	220
221	222	223	224	225	226	227	228	229	230	231	232	233	234	235	236	237	238	239	240
241	242	243	244	245	246	247	248	249	250	251	252	253	254	255	256	257	258	259	260
261	262	263	264	265	266	267	268	269	270	271	272	273	274	275	276	277	278	279	280
281	282	283	284	285	286	287	288	289	290	291	292	293	294	295	296	297	298	299	300

Βήμα 2ο: Στη συνέχεια κρατάμε τον πρώτο αριθμό (2) και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσια του

	2	3		5		7		9		11		13		15		17		19
21		23		25		27		29		31		33		35		37		39
41		43		45		47		49		51		53		55		57		59
61		63		65		67		69		71		73		75		77		79
81		83		85		87		89		91		93		95		97		99
101		103		105		107		109		111		113		115		117		119
121		123		125		127		129		131		133		135		137		139
141		143		145		147		149		151		153		155		157		159
161		163		165		167		169		171		173		175		177		179
181		183		185		187		189		191		193		195		197		199
201		203		205		207		209		211		213		215		217		219
221		223		225		227		229		231		233		235		237		239
241		243		245		247		249		251		253		255		257		259
261		263		265		267		269		271		273		275		277		279
281		283		285		287		289		291		293		295		297		299

Βήμα 3ο: Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο, κρατάμε τον επόμενο πρώτο που είναι ο αριθμός (3) και διαγράφουμε όλα τα πολλαπλάσιά του.

	2	3		5		7				11		13				17		19
		23		25				29		31				35		37
41		43				47		49				53		55				59
61				65		67				71		73				77		79
		83		85				89		91				95		97
101		103				107		109				113		115				119
121				125		127				131		133				137		139
		143		145				149		151				155		157
161		163				167		169				173		175				179
181				185		187				191		193				197		199
		203		205				209		211				215		217
221		223				227		229				233		235				239
241				245		247				251		253				257		259
		263		265				269		271				275		277
281		283				287		289				293		295				299